Das Geburtstagsparadoxon: Warum Zufälle gar keine sind
Die Wette auf der Party
Stellen Sie sich vor, Sie sind auf einer Party oder in einem Klassenzimmer mit 23 Personen.
Jemand bietet Ihnen eine Wette an: "Ich wette 10 Euro, dass zwei Personen hier im Raum am selben Tag Geburtstag haben (nicht gleicher Jahrgang, nur gleicher Tag)."
Würden Sie die Wette annehmen?
Ihr Bauchgefühl sagt wahrscheinlich: "Auf keinen Fall. Das Jahr hat 365 Tage. 23 Leute sind viel zu wenig. Die Chance muss winzig sein."
Ein statistischer Matherechner würde Ihnen jedoch raten: Nehmen Sie die Wette nicht an.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es ein Paar gibt, liegt bei 50,7 %. Bei 50 Personen steigt sie sogar auf 97 %.
Das Missverständnis: Ich gegen den Rest
Warum irren wir uns so gewaltig? Weil unser Gehirn egozentrisch denkt. Wir fragen uns: "Wie hoch ist die Chance, dass jemand an meinem Geburtstag hat?"
Diese Chance ist tatsächlich gering (bei 23 Leuten ca. 6 %).
Aber darum geht es nicht. Es geht um irgendein Paar.
Person A vergleicht sich mit 22 anderen.
Person B vergleicht sich mit 21 anderen (A ist schon gecheckt).
Person C vergleicht sich mit 20 anderen.
Die Anzahl der möglichen Paare bei 23 Personen ist riesig:
$$\frac{23 \cdot 22}{2} = 253 \text{ Paar-Kombinationen}$$
Es ist, als würde man 253 Lose ziehen. Die Chance auf einen Treffer ist viel höher, als man denkt.
Der mathematische Beweis (Rückwärts rechnen)
Am einfachsten berechnet man das Paradoxon, indem man die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, dass niemand am selben Tag Geburtstag hat (das Gegenereignis).
Der erste Gast hat irgendeinen Geburtstag (365/365 = 100%).
Der zweite Gast darf nicht denselben haben (364/365).
Der dritte Gast darf nicht den von 1 und 2 haben (363/365).
Die Formel lautet:
$$P(\text{kein Treffer}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \dots \cdot \frac{343}{365}$$
Das Ergebnis ist ca. 0,493 (49,3 %).
Da die Wahrscheinlichkeit für "kein Treffer" bei 49,3 % liegt, muss die Wahrscheinlichkeit für "mindestens ein Treffer" bei 50,7 % liegen ($100 - 49,3$).
Digitale Fingerabdrücke
In der Informatik ist dieses Prinzip extrem wichtig für die Sicherheit. Bei sogenannten "Hash-Funktionen" (digitale Fingerabdrücke von Dateien) nutzen Hacker das Geburtstagsparadoxon für Kollisionsangriffe. Sie müssen nicht Billionen von Dateien durchprobieren, um zwei mit dem gleichen Fingerabdruck zu finden. Dank der Mathematik reicht oft schon die Quadratwurzel der Anzahl, um eine Dopplung zu finden und Passwörter zu knacken.
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